I convinced Mary to buy a new computer, but she didn’t.　という文、どういう意味でしょうか。

「新しいコンピュータを買うようメアリーを説得したが、彼女は買わなかった」という訳になりますか？

メアリーはコンピュータを買ったのでしょうか、それとも買わなかったのでしょうか。

無理に訳すとすれば、「メアリーを説得して新しいコンピュータを買わせたが、彼女はしなかった（「・・・え?何をしなかった？」という疑問を後に伴う）」。

日本語の「説得する」は、人に何かするように「働きかける」ところまでの意味なので、言ってはみたが駄目だったというような場合にも使います。でもconvinceはその働きかけが成功したことまで含むことばです。ことばの領域が決定的にずれる部分です。

上の文では、メアリーは「私」の話に納得して新しいコンピュータを買ったことになります。後半の「but she didn’t」は、途中で切れた意味不明な文ということに。

説得が不調に終わったのなら、I failed to convince her ・・・のように、convince自体を否定しなくてはなりません。convince （またはpersuade)＝「説得する」という記憶だけで訳している
と、その後にある重要な情報を間違ってとらえてしまうかもしれません